Korisnik:MisaZvornik/prevod1

Teorema Sofije Žermen

U teoriji brojeva, teorema Sofije Žermen je iskaz o mogućnostima rešenja jednačine $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ iz poslednje Fermaove teoreme za neparne proste brojeve $p$ .

Formalna tvrdnja

Konkretno, Sofija Žermen je dokazala da bar jedan od brojeva $x$ , $y$ , $z$ mora biti deljiv sa $p^{2}$ ako postoji prost broj $q$ tako da važe sledeći uslovi:

Ne postoji dva stepena broja $p$ koji nisu nula i koji se razlikuju po modulu $q$ ;
$p$ sam po sebi nije $p$ -ti stepen modula $q$ .

Nasuprot tome, prvi slučaj poslednje Fermaove teoreme (slučaj u kom $p$ ne deli $xyz$ ) mora da važi za svaki prost broj $p$ za koji se može naći bar jedan odgovarajući prost broj.

Istorija

Sofija Žermen je pronašla odgovarajuće proste brojeve $q$ za svaki prost broj manji od 100. Teorema i njena primena na proste brojeve $p$ koji su manji od sto pripisana je Sofiji Žermen od strane Adrijen-Mari Ležandra 1823. godine.

Opšti dokaz teoreme

Pošto pomoćni prost broj $q$ nema nikakve veze sa deljivođću sa $n$ , ali mora da deli bar jedan broj od $x$ , $y$ i $z$ , došlo bi do kršenja Fermaove teoreme. Najverovatnije je tačna pretpostavka da za dato $n$ , pomoćni prost broj može biti proizvoljno velik, kao kod Marsenovih prostih brojeva. Sofija Žermen je najverovatnije dokazala teoremu u opštem slučaju svojim razmatranjima o beskonačnosti, jer tada bar jedan od brojeva $x$ , $y$ i $z$ mora biti proizvoljno veliki da bi bio deljiv beskonačnim brojem delilaca.

Reference

Laubenbacher R, Pengelley D (2007) "Voici ce que j'ai trouvé": Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem
Mordell LJ (1921). Three Lectures on Fermat's Last Theorem. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 27–31.
Ribenboim P (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer-Verlag. стр. 54–63. ISBN 978-0-387-90432-0.