Корисник:МисаЗворник/превод1

Теорема Софије Жермен

У теорији бројева, теорема Софије Жермен је исказ о могућностима решења једначине $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ из последње Фермаове теореме за непарне просте бројеве $p$.

Формална тврдња

Конкретно, Софија Жермен је доказала да бар један од бројева $x$, $y$, $z$ мора бити дељив са $p^{2}$ ако постоји прост број $q$ тако да важе следећи услови:

1. Не постоји два степена броја $p$ који нису нула и који се разликују по модулу $q$;
2. $p$ сам по себи није $p$-ти степен модула $q$.

Насупрот томе, први случај последње Фермаове теореме (случај у ком $p$ не дели $xyz$) мора да важи за сваки прост број $p$ за који се може наћи бар један одговарајући прост број.

Историја

Софија Жермен је пронашла одговарајуће просте бројеве $q$ за сваки прост број мањи од 100. Теорема и њена примена на просте бројеве $p$ који су мањи од сто приписана је Софији Жермен од стране Адријен-Мари Лежандра 1823. године.

Општи доказ теореме

Пошто помоћни прост број $q$ нема никакве везе са дељивођћу са $n$, али мора да дели бар један број од $x$,$y$ и $z$, дошло би до кршења Фермаове теореме. Највероватније је тачна претпоставка да за дато $n$, помоћни прост број може бити произвољно велик, као код Марсенових простих бројева. Софија Жермен је највероватније доказала теорему у општем случају својим разматрањима о бесконачности, јер тада бар један од бројева $x$,$y$ и $z$ мора бити произвољно велики да би био дељив бесконачним бројем делилаца.

Референце

• Laubenbacher R, Pengelley D (2007) "Voici ce que j'ai trouvé": Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem
• Mordell LJ (1921). Three Lectures on Fermat's Last Theorem. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 27–31. 
• Ribenboim P (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer-Verlag. стр. 54–63. ISBN 978-0-387-90432-0.