Корисник:МисаЗворник/превод2

Овај списак математичких редова садржи формуле за коначне и бесконачне суме. Може се користити у комбинацији са другим средствима за процену сума.

Узима се да је $0^{0}$ једнако $1$
${x}$ означава разломачки део $x$
$B_{n} (x)$ су Бернулијеви полиноми.
$B_{n}$ је Бернулијев број, и важи $B_{1} = - \frac{1}{2} .$
$E_{n}$ је Ојлеров број.
$ζ (s)$ је Риманова зета-функција.
$Γ (z)$ је гама функција.
$ψ_{n} (z)$ је полигама функција.
${Li}_{s} (z)$ је полилогаритам.
$(\binom{n}{k})$ је биномни коефицијент.
$\exp (x)$ означава експоненцијалну функцију од $x$

Суме степена

Погледајмо Фаулхаберову формулу.

$\sum_{k = 0}^{m} k^{n - 1} = \frac{B_{n} (m + 1) - B_{n}}{n}$

Неколико првих вредности:

$\sum_{k = 1}^{m} k = \frac{m (m + 1)}{2}$
$\sum_{k = 1}^{m} k^{2} = \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6} = \frac{m^{3}}{3} + \frac{m^{2}}{2} + \frac{m}{6}$
$\sum_{k = 1}^{m} k^{3} = {[\frac{m (m + 1)}{2}]}^{2} = \frac{m^{4}}{4} + \frac{m^{3}}{2} + \frac{m^{2}}{4}$

Погледајмо зета константе.

$ζ (2 n) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2 n}} = (- 1)^{n + 1} \frac{B_{2 n} (2 π)^{2 n}}{2 (2 n)!}$

Неколико првих вредности:

$ζ (2) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}$ (Базелски проблем)
$ζ (4) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{4}} = \frac{π^{4}}{90}$
$ζ (6) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{6}} = \frac{π^{6}}{945}$

Редови степена

Полилогаритми нижег реда

Коначне суме:

$\sum_{k = m}^{n} z^{k} = \frac{z^{m} - z^{n + 1}}{1 - z}$ , (геометријски ред)
$\sum_{k = 0}^{n} z^{k} = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}$
$\sum_{k = 1}^{n} z^{k} = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} - 1 = \frac{z - z^{n + 1}}{1 - z}$
$\sum_{k = 1}^{n} k z^{k} = z \frac{1 - (n + 1) z^{n} + n z^{n + 1}}{(1 - z)^{2}}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} z^{k} = z \frac{1 + z - (n + 1)^{2} z^{n} + (2 n^{2} + 2 n - 1) z^{n + 1} - n^{2} z^{n + 2}}{(1 - z)^{3}}$
$\sum_{k = 1}^{n} k^{m} z^{k} = {(z \frac{d}{d z})}^{m} \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}$

Бесконачне суме, важе за $| z | < 1$ :

${Li}_{n} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{z^{k}}{k^{n}}$

Наредне формуле су корисне за рекурзивно израчунавање полилогаритама нижег целобројног реда у затвореној форми:

$\frac{d}{d z} {Li}_{n} (z) = \frac{{Li}_{n - 1} (z)}{z}$
${Li}_{1} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{z^{k}}{k} = - \ln (1 - z)$
${Li}_{0} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} z^{k} = \frac{z}{1 - z}$
${Li}_{- 1} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} k z^{k} = \frac{z}{(1 - z)^{2}}$
${Li}_{- 2} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^{2} z^{k} = \frac{z (1 + z)}{(1 - z)^{3}}$
${Li}_{- 3} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^{3} z^{k} = \frac{z (1 + 4 z + z^{2})}{(1 - z)^{4}}$
${Li}_{- 4} (z) = \sum_{k = 1}^{\infty} k^{4} z^{k} = \frac{z (1 + z) (1 + 10 z + z^{2})}{(1 - z)^{5}}$

Експоненцијална функција

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{k}}{k!} = e^{z}$
$\sum_{k = 0}^{\infty} k \frac{z^{k}}{k!} = z e^{z}$ (средња вредност Поасонове расподеле)
$\sum_{k = 0}^{\infty} k^{2} \frac{z^{k}}{k!} = (z + z^{2}) e^{z}$ (други моменат Поасонове расподеле)
$\sum_{k = 0}^{\infty} k^{3} \frac{z^{k}}{k!} = (z + 3 z^{2} + z^{3}) e^{z}$
$\sum_{k = 0}^{\infty} k^{4} \frac{z^{k}}{k!} = (z + 7 z^{2} + 6 z^{3} + z^{4}) e^{z}$
$\sum_{k = 0}^{\infty} k^{n} \frac{z^{k}}{k!} = z \frac{d}{d z} \sum_{k = 0}^{\infty} k^{n - 1} \frac{z^{k}}{k!} = e^{z} T_{n} (z)$

Однос тригонометријских, инверзних тригонометријских, хиперболичких и инверзних хиперболичких функција

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} z^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} = \sin z$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} = \sinh z$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} z^{2 k}}{(2 k)!} = \cos z$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{2 k}}{(2 k)!} = \cosh z$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1} (2^{2 k} - 1) 2^{2 k} B_{2 k} z^{2 k - 1}}{(2 k)!} = \tan z, | z | < \frac{π}{2}$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(2^{2 k} - 1) 2^{2 k} B_{2 k} z^{2 k - 1}}{(2 k)!} = \tanh z, | z | < \frac{π}{2}$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} 2^{2 k} B_{2 k} z^{2 k - 1}}{(2 k)!} = \cot z, | z | < π$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{2 k} B_{2 k} z^{2 k - 1}}{(2 k)!} = \coth z, | z | < π$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1} (2^{2 k} - 2) B_{2 k} z^{2 k - 1}}{(2 k)!} = \csc z, | z | < π$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{- (2^{2 k} - 2) B_{2 k} z^{2 k - 1}}{(2 k)!} = csch z, | z | < π$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} E_{2 k} z^{2 k}}{(2 k)!} = sech z, | z | < \frac{π}{2}$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{E_{2 k} z^{2 k}}{(2 k)!} = \sec z, | z | < \frac{π}{2}$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1} z^{2 k}}{(2 k)!} = ver z$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1} z^{2 k}}{2 (2 k)!} = hav z$ ^[1]
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(2 k)! z^{2 k + 1}}{2^{2 k} (k!)^{2} (2 k + 1)} = \arcsin z, | z | \leq 1$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} (2 k)! z^{2 k + 1}}{2^{2 k} (k!)^{2} (2 k + 1)} = arcsinh z, | z | \leq 1$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} z^{2 k + 1}}{2 k + 1} = \arctan z, | z | < 1$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{2 k + 1}}{2 k + 1} = arctanh z, | z | < 1$
$\ln 2 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1} (2 k)! z^{2 k}}{2^{2 k + 1} k (k!)^{2}} = \ln (1 + \sqrt{1 + z^{2}}), | z | \leq 1$
$\sum_{k = 2}^{\infty} (k \cdot arctanh (\frac{1}{k}) - 1) = \frac{3 - \ln (4 π)}{2}$

Модификовани факторски имениоци

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(4 k)!}{2^{4 k} \sqrt{2} (2 k)! (2 k + 1)!} z^{k} = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - z}}{z}}, | z | < 1$ ^[2]
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{2 k} (k!)^{2}}{(k + 1) (2 k + 1)!} z^{2 k + 2} = {(\arcsin z)}^{2}, | z | \leq 1$ ^[2]
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\prod_{k = 0}^{n - 1} (4 k^{2} + α^{2})}{(2 n)!} z^{2 n} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{α \prod_{k = 0}^{n - 1} [(2 k + 1)^{2} + α^{2}]}{(2 n + 1)!} z^{2 n + 1} = e^{α \arcsin z}, | z | \leq 1$

Биномни коефицијенти

$(1 + z)^{α} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{α}{k}) z^{k}, | z | < 1$
^[3] $\sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{α + k - 1}{k}) z^{k} = \frac{1}{(1 - z)^{α}}, | z | < 1$
^[3] $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k + 1} (\binom{2 k}{k}) z^{k} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 z}}{2 z}, | z | \leq \frac{1}{4}$ , функција генерисања Каталанових бројева
^[3] $\sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{2 k}{k}) z^{k} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 z}}, | z | < \frac{1}{4}$ , функција генерисања централног биномног коефицијента
^[3] $\sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{2 k + α}{k}) z^{k} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 z}} {(\frac{1 - \sqrt{1 - 4 z}}{2 z})}^{α}, | z | < \frac{1}{4}$

Harmonic numbers

$\sum_{k = 1}^{\infty} H_{k} z^{k} = \frac{- \ln (1 - z)}{1 - z}, | z | < 1$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{H_{k}}{k + 1} z^{k + 1} = \frac{1}{2} {[\ln (1 - z)]}^{2}, | z | < 1$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1} H_{2 k}}{2 k + 1} z^{2 k + 1} = \frac{1}{2} \arctan z \log (1 + z^{2}), | z | < 1$ ^[2]
$\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{(- 1)^{k}}{2 k + 1} \frac{z^{4 n + 2}}{4 n + 2} = \frac{1}{4} \arctan z \log \frac{1 + z}{1 - z}, | z | < 1$ ^[2]
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2}}{n^{2} (n + x)} = x \frac{π^{2}}{6} - H (x)$

Тригонометријске функције

Суме синуса и косинуса расту по Фуријеовом реду.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cos (k θ)}{k} = - \frac{1}{2} \ln (2 - 2 \cos θ) = - \ln (2 \sin \frac{θ}{2}), 0 < θ < 2 π$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin (k θ)}{k} = \frac{π - θ}{2}, 0 < θ < 2 π$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} \cos (k θ) = \frac{1}{2} \ln (2 + 2 \cos θ) = \ln (2 \cos \frac{θ}{2}), 0 \leq θ < π$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} \sin (k θ) = \frac{θ}{2}, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cos (2 k θ)}{2 k} = - \frac{1}{2} \ln (2 \sin θ), 0 < θ < π$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin (2 k θ)}{2 k} = \frac{π - 2 θ}{4}, 0 < θ < π$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\cos [(2 k + 1) θ]}{2 k + 1} = \frac{1}{2} \ln (\cot \frac{θ}{2}), 0 < θ < π$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\sin [(2 k + 1) θ]}{2 k + 1} = \frac{π}{4}, 0 < θ < π$ ,^[4]
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin (2 π k x)}{k} = π (\frac{1}{2} - {x}), x \in ℝ$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin (2 π k x)}{k^{2 n - 1}} = (- 1)^{n} \frac{(2 π)^{2 n - 1}}{2 (2 n - 1)!} B_{2 n - 1} ({x}), x \in ℝ, n \in ℕ$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cos (2 π k x)}{k^{2 n}} = (- 1)^{n - 1} \frac{(2 π)^{2 n}}{2 (2 n)!} B_{2 n} ({x}), x \in ℝ, n \in ℕ$
$B_{n} (x) = - \frac{n!}{2^{n - 1} π^{n}} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{n}} \cos (2 π k x - \frac{π n}{2}), 0 < x < 1$ ^[5]
$\sum_{k = 0}^{n} \sin (θ + k α) = \frac{\sin \frac{(n + 1) α}{2} \sin (θ + \frac{n α}{2})}{\sin \frac{α}{2}}$
$\sum_{k = 0}^{n} \cos (θ + k α) = \frac{\sin \frac{(n + 1) α}{2} \cos (θ + \frac{n α}{2})}{\sin \frac{α}{2}}$
$\sum_{k = 1}^{n - 1} \sin \frac{π k}{n} = \cot \frac{π}{2 n}$
$\sum_{k = 1}^{n - 1} \sin \frac{2 π k}{n} = 0$
$\sum_{k = 0}^{n - 1} \csc^{2} (θ + \frac{π k}{n}) = n^{2} \csc^{2} (n θ)$ ^[6]
$\sum_{k = 1}^{n - 1} \csc^{2} \frac{π k}{n} = \frac{n^{2} - 1}{3}$
$\sum_{k = 1}^{n - 1} \csc^{4} \frac{π k}{n} = \frac{n^{4} + 10 n^{2} - 11}{45}$

Рационалне функције

$\sum_{n = a + 1}^{\infty} \frac{a}{n^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2} H_{2 a}$ ^[7]
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + a^{2}} = \frac{1 + a π \coth (a π)}{2 a^{2}}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2} + a^{2}} = \frac{1 + a π csch (a π)}{2 a^{2}}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n + 1) (- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{2} + a^{2}} = \frac{π}{4} sech (\frac{a π}{2})$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{4} + 4 a^{4}} = \frac{1}{8 a^{4}} + \frac{π (\sinh (2 π a) + \sin (2 π a))}{8 a^{3} (\cosh (2 π a) - \cos (2 π a))}$
Бесконачни ред било које рационалне функције у зависности од $n$ може се свести на коначан низ полигама функција коришћењем делимичне декомпозиције^[8]. Ова чињеница се такође може применити на коначне редове рационалних функција, омогућавајући да се резултат израчуна у константном времену чак и када ред садржи велики број чланова.

Експоненцијална функција

$\frac{1}{\sqrt{p}} \sum_{n = 0}^{p - 1} \exp (\frac{2 π i n^{2} q}{p}) = \frac{e^{π i / 4}}{\sqrt{2 q}} \sum_{n = 0}^{2 q - 1} \exp (- \frac{π i n^{2} p}{2 q})$
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{- π n^{2}} = \frac{\sqrt[4]{π}}{Γ (\frac{3}{4})}$

Нумерички редови

Ови нумерички редови се могу добити додавањем бројева из горе наведених редова.

Наизменични хармонијски редови

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = \ln 2$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{2 k - 1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{π}{4}$

Суме реципрочних вредности факторијала

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = e$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k)!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{8!} + \dots = \frac{1}{2} (e + \frac{1}{e}) = \cosh 1$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(3 k)!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{9!} + \frac{1}{12!} + \dots = \frac{1}{3} (e + \frac{2}{\sqrt{e}} \cos \frac{\sqrt{3}}{2})$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(4 k)!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{8!} + \frac{1}{12!} + \frac{1}{16!} + \dots = \frac{1}{2} (\cos 1 + \cosh 1)$

Тригонометрија и π

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} = \frac{1}{1!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} - \frac{1}{7!} + \frac{1}{9!} + \dots = \sin 1$
$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!} = \frac{1}{0!} - \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{6!} + \frac{1}{8!} + \dots = \cos 1$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2} + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{17} + \dots = \frac{1}{2} (π \coth π - 1)$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k^{2} + 1} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} + \frac{1}{17} + \dots = \frac{1}{2} (π csch π - 1)$
$3 + \frac{4}{2 \times 3 \times 4} - \frac{4}{4 \times 5 \times 6} + \frac{4}{6 \times 7 \times 8} - \frac{4}{8 \times 9 \times 10} + \dots = π$

Реципрочне вредности тетраедарских бројева

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{T e_{k}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{35} + \dots = \frac{3}{2}$

Када важи $T e_{n} = \sum_{k = 1}^{n} T_{k}$

Експоненцијалне функције и логаритми

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 2)} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{9 \times 10} + \dots = \ln 2$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k} k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{64} + \frac{1}{160} + \dots = \ln 2$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{2^{k} k} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k + 1}}{3^{k} k} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{8} + \frac{1}{18}) + (\frac{1}{24} + \frac{1}{81}) - (\frac{1}{64} + \frac{1}{324}) + \dots = \ln 2$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{3^{k} k} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{4^{k} k} = (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{18} + \frac{1}{32}) + (\frac{1}{81} + \frac{1}{192}) + (\frac{1}{324} + \frac{1}{1024}) + \dots = \ln 2$
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{k} k} = \ln (\frac{n}{n - 1})$ , то јест $\forall n > 1$

Напомена

↑ Weisstein, Eric W.. „Haversine“. MathWorld. Wolfram Research, Inc..
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology. Academic Press, Inc.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 „Theoretical computer science cheat sheet“.
↑
Calculate the Fourier expansion of the function f(x)=π4 on the interval 0<x<π:
- $\frac{π}{4} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \sin [n x] + d_{n} \cos [n x]$
⇒{cn={1n(n odd)0(n even)dn=0(∀n)
↑ „Bernoulli polynomials: Series representations (subsection 06/02)“ Приступљено 2 June 2011.
↑ Hofbauer, Josef. „A simple proof of 1 + 1/2² + 1/3² + ··· = Шаблон:Pi²/6 and related identities“ Приступљено 2 June 2011.
↑ Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W.. „Riemann Zeta Function (eq. 52)“.
↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1964). „6.4 Polygamma functions“. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Courier Corporation. стр. 260. ISBN 0-486-61272-4.

Референце

Многе књиге са табличним интегралима такође имају и списак редова.

[Weisstein_hav-1] Weisstein, Eric W.. „Haversine“. MathWorld. Wolfram Research, Inc..

[gfo-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology. Academic Press, Inc.

[ctcs-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 „Theoretical computer science cheat sheet“.

[4] Calculate the Fourier expansion of the function $f (x) = \frac{π}{4}$ on the interval $0 < x < π$ :
$\frac{π}{4} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \sin [n x] + d_{n} \cos [n x]$
$\Rightarrow {\begin{matrix} c_{n} = {\begin{matrix} \frac{1}{n} (n odd) \\ 0 (n even) \end{matrix} \\ d_{n} = 0 (\forall n) \end{matrix}$

[5] $\frac{π}{4} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \sin [n x] + d_{n} \cos [n x]$

[5] „Bernoulli polynomials: Series representations (subsection 06/02)“ Приступљено 2 June 2011.

[6] Hofbauer, Josef. „A simple proof of 1 + 1/2² + 1/3² + ··· = Шаблон:Pi²/6 and related identities“ Приступљено 2 June 2011.

[7] Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W.. „Riemann Zeta Function (eq. 52)“.

[8] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1964). „6.4 Polygamma functions“. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Courier Corporation. стр. 260. ISBN 0-486-61272-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]