Korisnik:RenatoTru/prevod2

Vitali skup

U matematici, Vitali skup je elementaran primer skupa realnih brojeva koji nije Lebesguov merljiv, a pronašao ga je Đuzepe Vitali 1905. godine. Vitalijeva teorema je teorema o postojanju takvih skupova. Svaki Vitali skup je neprebrojiv, a postoji neprebrojivo mnogo Vitali skupova. Dokaz njihove postojanosti zavisi od aksioma izbora.

Merljivi skupovi

Neki skupovi imaju jasno definisanu "dužinu" ili "mase". Na primer, interval [0,1] se smatra da ima dužinu 1; generalno, interval [a,b], gde je a≤b, se smatra da ima dužinu b−a. Ako zamislimo takve intervale kao metalne šipke sa uniformnom gustinom, one takođe imaju dobro definisane mase. Skup [0,1]∪[2,3] se sastoji od dva intervala dužine 1, pa uzimamo njegovu ukupnu dužinu kao 2. U smislu mase, imamo dve šipke mase 1, pa je ukupna masa 2.

Postoji prirodno pitanje: ako je E proizvoljan podskup realne linije, da li on ima "masu" ili "ukupnu dužinu"? Kao primer, možemo pitati koja je masa skupa racionalnih brojeva između 0 i 1, s obzirom na to da masa intervala [0,1] iznosi 1. Racionalni brojevi su gusti u realnim brojevima, pa bilo koja vrednost između i uključujući 0 i 1 može izgledati razumno.

Međutim, najbliža generalizacija za masu je sigma-aditivnost, koja dovodi do Lebesguove mere. Ona dodeljuje meru b−a za interval [a,b], ali dodeljuje meru 0 skupu racionalnih brojeva, jer su oni brojivi. Svaki skup koji ima dobro definisanu Lebesguovu meru naziva se "merljivim", ali konstrukcija Lebesguove mere (na primer, korišćenjem Karatodorijevog proširenja) ne čini očiglednim postojanje nemerljivih skupova. Odgovor na to pitanje zavisi od aksioma izbora.

Konstrukcija i dokaz

Vitali skup je podskup intervala [0,1] realnih brojeva takav da, za svaki realni broj r, postoji tačno jedan broj v∈V takav da je v−r racionalan broj. Vitalijevi skupovi postoje zato što racionalni brojevi Q čine normalnu podgrupu realnih brojeva R pod sabiranjem, a to omogućava konstrukciju aditivne količne grupe R/Q ovih dvaju grupa, koja je grupa formirana kosetama r+Q racionalnih brojeva kao podgrupe realnih brojeva pod sabiranjem. Ova grupa R/Q se sastoji od disjunktnih "pomerenih kopija" Q u tom smislu da je svaki element ove količne grupe skup oblika r+Q za neki r∈R. Neprebrojivo mnogo elemenata grupe R/Q deli R na disjunktne skupove, a svaki element je gust u R. Svaki element grupe R/Q presijeca interval [0,1], a aksiom izbora garantuje postojanje podskupa [0,1] koji sadrži tačno jedan predstavnik iz svakog elementa grupe R/Q. Skup koji se na ovaj način formira naziva se Vitali skup.

Svaki Vitali skup V je nenavodiv, a razlika v−u je iracionalna za bilo koja dva različita broja u,v∈V.

Nemogućnost merljivosti

Vitali skup je nemerljiv. Da bismo to pokazali, pretpostavljamo da je V merljiv i izvodimo kontradikciju. Neka su q1,q2,… enumeracija racionalnih brojeva u [−1,1] (podsećamo da su racionalni brojevi brojivi). Iz konstrukcije V možemo pokazati da su prevedeni skupovi

Vk=V+qk={v+qk:v∈V}, k=1,2,… međusobno disjunktni. (Ako nije, postojali bi različiti v,u∈V i k,ℓ∈N takvi da v+qk=u+qℓ, što implicira da je v−u=qℓ−qk∈Q, što je kontradikcija.)

Dalje, primetimo da:

[0,1]⊆k⋃Vk⊆[−1,2]. Da bismo dokazali prvu inkluziju, uzmimo bilo koji realni broj r∈[0,1] i neka je v predstavnik u V za ekvivalencijsku klasu [r]; tada r−v=qi za neki racionalni broj qi∈[−1,1], što implicira da je r u Vi.

Primena Lebesguove mere na ove inkluzije korišćenjem sigma-aditivnosti daje:

1≤k=1∑∞λ(Vk)≤3. Pošto je Lebesguova mera invarijantna na translaciju, imamo λ(Vk)=λ(V) i stoga:

1≤k=1∑∞λ(V)≤3. Međutim, ovo je nemoguće. Sumarno beskonačno mnogo kopija konstantne λ(V) daje ili nulu ili beskonačnost, u zavisnosti od toga da li je konstanta nula ili pozitivna. Ni u jednom slučaju suma nije u intervalu [1,3]. Dakle, V ne može biti merljiv, tj. Lebesguova mera λ ne može definisati vrednost za λ(V).

Osobine

Niti jedan Vitali skup nema svojstvo Bair-a.

Modifikovanjem gore navedenog dokaza može se pokazati da svaki Vitali skup ima Banahovu meru 0. Ovo ne stvara kontradikcije, jer Banahove mere nisu brojivo aditivne, već samo konačno aditivne.

Uloga aksioma izbora

Konstrukcija Vitalijevih skupova koju smo naveli koristi aksiom izbora. Pitanje je: da li je aksiom izbora potreban da bi se dokazalo postojanje skupova koji nisu Lebesguovi merljivi? Odgovor je da, pod uslovom da su nedostižni kardinali u skladu sa najčešćom aksiomatizacijom teorije skupova, tzv. ZFC.

Godine 1964, Robert Solovay je konstruktovao model Zermelo–Fraenkelove teorije skupova bez aksioma izbora, gde su svi skupovi realnih brojeva Lebesguovi merljivi. Ovaj model je poznat kao Solovayev model. U svom dokazu, Solovay je pretpostavio da postojanje nedostižnih kardinala ne izaziva kontradikcije u drugim aksiomima teorije skupova, što se široko veruje da je tačno, ali ne može biti dokazano u samom ZFC-u.

Godine 1980, Saharon Shelah je dokazao da nije moguće uspostaviti Solovayeve rezultate bez njegove pretpostavke o nedostižnim kardinalima.