Корисник:РенатоТру/превод1

Раманујанов прост број

Раманујанов прост број Нема никакве везе са Хардy–Раманујановим бројем.

У математици, Раманујанов прост број је прост број који задовољава резултат који је доказао Сриниваса Раманујан, а који се односи на функцију бројања простих бројева.

Порекло и дефиниција

Године 1919, Раманујан је објавио нови доказ Бертрандове постулате који је, како напомиње, први пут доказао Чебишев. На крају свог двостраничног рада, Раманујан је извео генерализовани резултат, који је:

π(x)−π(2x)≥1,2,3,4,5,… за све x≥2,11,17,29,41,… где је π(x) функција расподеле простих бројева, која даје број простих бројева мањих или једнаких од x.

Супротно овом резултату је дефиниција Раманујанових простих бројева:

н-ти Раманујанов прост број је најмањи цео број Рн за који важи:

π(x)−π(2x)≥н, за све x≥Рн. Другим речима, Раманујанови прости бројеви су најмањи бројеви Рн за које постоји најмање н простих бројева између x и x/2 за све x≥Рн.

Првих пет Раманујанових простих бројева су дакле: 2, 11, 17, 29 и 41.

Напомена: Цео број Рн је нужно прост број, јер π(x)−π(x/2) мора да се повећа додавањем још једног простог броја када x=Рн. Будући да π(x)−π(x/2) може да порасте за највише 1, важи:

π(Рн)−π(2Рн)=н.

Границе и асимптотска формула

За све н≥1 важе следеће границе:

2нлн(2н)<Рн<4нлн(4н). Ако је н>1, такође важи:

п2н<Рн<п3н, где је пн н-ти прост број.

Како н тежи бесконачности, Рн је асимптотски једнак 2н-том простом броју, тј.:

Рн∼п2н (како н→∞). Сви ови резултати доказани су од стране Сондоwа (2009), осим горње границе Рн<п3н, коју је претпоставио и доказао Лаисхрам (2010). Граница је побољшана од стране Сондоwа, Ницхолсона и Ноеа (2011) на:

Рн≤41/47п3н, што је оптимална форма Рн≤ц⋅п3н, јер је једнако за н=5.